\documentclass[12pt,a4paper,oneside,final]{book}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[IL2]{fontenc}
\usepackage[czech]{babel}
%\usepackage{mathptmx}
\usepackage{longtable}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{hyperref}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{veta}{Věta}[section]
\newtheorem{lemma}[veta]{Lemma}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definice}[veta]{Definice}
\newtheorem{pozn}[veta]{Poznámka}


\begin{document}
\section*{Úloha 1}
\subsection*{Jaká je vzdálenost nejbližších sousedů v diamantové mřížce uhlíku, křemíku a germánia?}
Vzdálenost nejbližších sousedů v diamantové mřížce je rovna $a \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$, kde $a$ je mřížková konstatna.

Uhlík: $a=0,356683 \Longrightarrow l=a \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=0,1544483 nm$

Křemík: $a=0,543095 \Longrightarrow l=0,23516703 nm$

Germánium: $a=0,564613 \Longrightarrow l=0,24448460 nm$

\subsection*{Jaká je hmotnost destičky křemíku o rozměrech 15x15x0,7 mm?}

$V=15\cdot 15 \cdot 0,7 = 157,5 mm^3=0,1575 cm^3$\\
$\rho_{Si}=2,3290 \frac{g}{cm^3}$\\
$m=\rho \cdot V=0,3668175 g$\\
hmotnost atomu křemíku je $m_{Si}=4,663707 \cdot 10^{-23}g$\\
$N=\frac{m}{m_{si}}=7,865333 \cdot 10^{21}$\\

\subsection*{Kolik atomů je v kostce křemíku o hraně 32nm?}
Obsah jedné buňky mřížky je $V_b=a^3$. \\
Počet buňek je tedy $(\frac{32}{a})^3=204560$\\
V buňce je 8 atomů, celkový počet atomů je tedy $8 \cdot 204560=1636480$.
\clearpage
\section*{Úloha 2}
\subsection*{Jaká je vzdálenost nejbližších sousedů v krystalové rovině grafitu?}
Vzdálenost mezi sousedními atomy v šestiúhelníkové mřížce grafitu je (podle přednášky) $0,142nm$
\subsection*{Jaký počet atomů uhlíku je v ploše $1 cm^3$ jedné grafénové roviny?}
Obsah jednoho šestiúhelníku je $S=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}\cdot a^2=5,2387608 \cdot 10^{-16} cm^2$.\\
Počet šestiúhelníků je tedy $\frac{1}{S}=1,908848\cdot 10^{15}$.\\
O jeden atom se dělí 3 šestiúhelníky, tedy celkový počet atomů je $N=2\cdot \frac{1}{S}=3,8176967 \cdot 10^{15} $.
\subsection*{Jaká je její hmotnost?}
Hmotnost jednoho atomu uhlíku je $m_C=1,994423\cdot 10^{-23}g$\\
Hmotnost destičky proto bude $m=N\cdot m_C=7,614102\cdot 10^{-8}g$
\clearpage
\section*{Úloha 3}
\subsection*{Popište proceduru datování s izotopem 14C}
Datování pomocí uhlíku 14C je založeno na výpočtu změny koncentrace tohoto izotopu v poměru ke stabilnímu izotopu 12C. V přírodě je 14C zastoupen 0, 000 001 \% veškerého výskytu uhlíku a neustále se vytváří díky kosmickému záření. Princip je takový, že v každém živém organismu se 14C vyskytuje a jeho poměr se během života organismu stabilizuje na pevném poměru. Po smrti organismu se přísun přeruší a dále se už pouze rozpadá, neboť jde o radioaktivní izotop. Poločas rozpadu 14C je zhruba 5730 let. Pro odhad stáří se tedy odebere vzorek původně živého organismu a vyextrahuje se čistý uhlík. V něm se zjistí obsah izotopu 14C. Za předpokladu že v průbehu života zkoumaného organismu byl poměr daný, porovná se z aktuálním naměřeným poměrem a vypočíta se odhad stáří. Pro měření stáří u vzorků starých více než 50 000 let je metoda nevhodná, protože obsah 14C je už příliš malý. Naopak pro vzorky staré méňě než 200 let je odchylka větší než odhadované staří, proto je metoda rovněž nevhodná. Navíc v druhé polovině 20. století je rovnováha výskytu 14C narušena jadernými testy, což se musí ve výpočtech zohlednit.
\clearpage
\section*{Úloha 4}
\subsection*{Kolik atomů H, O, C a CA obsahuje lidské tělo o hmotnosti $80$ kg? Vyjádřete relativně vůči počtu atomů H.}
Podle Wikipedie je lidské tělo o hmotnosti 60 Kg složeno z H, O, C, Ca (kromě jiných) v následujících množství:
\vskip 0.25cm
\begin{tabular}{ll}
  H   &  6 kg  \\
  O   &  38,8 kg \\
  C   &  10,9 kg \\
  Ca  & 1,2 kg \\
\end{tabular}
\vskip 0.25cm
\noindent
Za předpokladu, že tělo o hmotnosti $80$ kg má stejný poměr uvedených prvků, můžeme vycházet z těchto čísel, neboť nás zajímají jen vzájemné poměry počtu atomů. Potom z relativních atomových hmotností vyplývá následující tabulka:
\vskip 0.25cm
\begin{tabular}{|l||l|l|l|l|}
\hline
  prvek & hmotnost &  poměr množství & $A_r$ &  poměr atomů\\
\hline
  H   &  6 kg  		& 1		& 1,00794	&1 \\
\hline
  O   & 38,8 kg 	& 6,4667	& 15,9994	&0,404 	\\
\hline
  C   & 10,9 kg 	& 1,8167	& 12,0107	&0,151\\
\hline
  Ca & 1,2 kg		& 0,2		& 40,078	&0,005 \\
\hline
\end{tabular}
\vskip 0.25cm
\noindent
Konkrétně potom počet atomů vodíku bude v těle o hmotnosti 80 kg (podle předpokladu bude obsahovat 8 kg vodíku):

\[N_H=\frac{8000}{1,00794} \cdot 6,0221415 \cdot 10^{23}=4,77976 \cdot 10^{27}\]
\clearpage
\section*{Úloha 5}
\subsection*{Spočítejte objem, který připadá na jednu molekulu plynu při tlaku $10^8$ Pa, $10^5$ Pa, $10^{-14}$ Pa a teplotách $300$ K, $2,7$ K.}
Stavová rovnice ideálního plynu je

\[p \cdot V=N\cdot k\cdot T\] 
$p$ je tlak\\
$V$ je objem\\
$N$ je počet částic (v našem případě 1)\\
$T$ je teplota\\
$k=1,3806 \cdot 10^{-23} J/K$ je Boltzmanova konstanta.\\
\\
Pro výpočet tlaku tedy rovnici upravíme do tvaru:\\
\[V= \frac{1 \cdot k \cdot T}{p}\]

 \vskip 0.25cm
\begin{tabular}{|c||c|c|c|}
\hline
  teplota\textbackslash objem 	& $10^8 Pa $	&  $10^5 Pa $ 	& $10^{-14} Pa $	\\
\hline 
  $300 K$ 				& $4,1418 \cdot 10^{-29} m^3$ 	& $4,1418 \cdot 10^{-26} m^3$ & $4,1418 \cdot 10^{-7} m^3$ \\
\hline
  $2,7 K$   				& $3,72762 \cdot 10^{-31} m^3$	& $3,72762 \cdot 10^{-28} m^3$& 	$3,72762 \cdot 10^{-9} m^3$\\
 \hline
\end{tabular}
\vskip 0.25cm
\clearpage
\section*{Úloha 6}
\subsection*{V jakém objemu plynu nastává relativní fluktuace hustoty plynu o velikosti $10 \%$ při tlaku $10^5$ Pa a teplotě $20^\circ$C.}
Vztah mezi relativní fluktuací a počtem částic je:
\[f=\frac{1}{\sqrt{N}}\]
Proto počítáme objem plynu v daných podmínkách pro počet částic odpovídající fluktuaci 10 \%.
\[N=\frac{1}{f^2}=\frac{1}{0,1^2}=100\]
\[V= \frac{N \cdot k \cdot T}{p}=\frac{100 \cdot 1,3806\cdot 10^{-23} \cdot 293,16 }{10^5}=4,04736 \cdot 10^{-24} m^3\]
\clearpage
\section*{Úloha 7}
\subsection*{Jaká je vnitřní energie $1m^3$ jednoatomového plynu při tlaku $10^5$ Pa?.}
Stavová rovnice ideálního plynu:
\[p \cdot V=N\cdot k\cdot T\]
rovnice pr vnitřní energii ideálního plynu:
\[U=\frac{3}{2}\cdot N \cdot k\cdot T\]
po dosazení vztahu pro počet částic získáme
\[U=\frac{3}{2}\cdot p \cdot V=\frac{3}{2} \cdot 10^5 \cdot 1= 1,5 \cdot 10^5 J\]
\subsection*{Jaká je změna tlaku a vnitřní energie při adiabatické kompresi na $1/100$ objemu.}
Pro adiabatický děj platí vztah
\[p \cdot V^K=konstanta\]
kde $K$ je Poissonova konstanta, která má pro jednoatomové plyny hodnotu $K=1,67$. Při kompresi na $1/100$ objemu tedy platí
\[p \cdot V^K=p_n \cdot \frac{V^K}{100^K} \Longrightarrow p_n= 10^5\cdot 100^{1,67}=2,18776 \cdot 10^8 Pa \]
\[U=\frac{3}{2} \cdot 2,18776 \cdot 10^8 \cdot \frac{1}{100}= 3,28164 \cdot 10^6J\]

\clearpage
\section*{Úloha 8}
\subsection*{Porovnejte práci vykonanou jednoatomovým ideálním plynem při adiabatické a izotermické expanzi se zvětšením objemu na dvojnásobek.}
Máme plyn o objemu $V$ a tlaku $p_1$. Při adiabatické expanzi na objem $2V$ se tlak plynu změní:
\[p_2=p_1 \cdot (\frac{1}{2})^{1,67}\]
A práce se koná na úkor vnitřní energie, tedy:
\[W=U_1 - U_2 = \frac{3}{2} \cdot (p_1 \cdot V - p_2 \cdot 2V)=\frac{3}{2} \cdot (p_1 \cdot V - p_1 \cdot (\frac{1}{2})^{1,67} \cdot 2V)\]
\[W=\frac{3}{2} \cdot p_1 \cdot V (1-  (\frac{1}{2})^{1,67} \cdot 2)=p_1 \cdot V \cdot 0,37 J\]
Při izotermické expanzi platí vztah:
\[T= konstanta \Longrightarrow p\cdot V=konstanta\]
Zvětší-li se tedy objem 2x, musí se tlak snížit na polovinu a vnitřní energie se tedy nemění. Změna práce při izotermickém ději je rovna změně tepla, které bylo vyměněno s okolím:
\[\delta W= -\delta Q\]
Odtud vyplývá, že celková práce je rovna:
\[W= -nRT \cdot ln \frac{2V}{V}=p_1 \cdot V \cdot  ln 2=p_1 \cdot V \cdot 0,69 J\]

\clearpage
\section*{Úloha 9}
\subsection*{Jaký celkový výkon vyzařuje absolutně černé těleso z plochy $1 m^2$ při teplotách $37$ a $5000^\circ$C.}

\end{document}




